國際著名數學家， Ricci 流理論之父 Richard Hamilton 教授近日在清華大學與晨興數學中心訪問曹懷東教授。 以下是他的談話記錄。

著名的龐加萊猜想是說，每個單連通緊致三維流形都同胚于球面。

用分析方法研究龐加萊猜想有著很長的歷史，起源于 Yamabe ，他試圖在流形上賦加一些好的度量。 接下來的發展則是Ricci流理論的出現。 「Ricci流」是指黎曼流形上的一類熱方程。 在流形上給定一個度量，用Ricci流發展方程加以改進，流形的曲率也隨之伸展。

丘成桐教授最早提示我，三維流形上的 Ricci 流將會產生瓶頸（ neckpinch ）現象，並把流形分解為一些連通的片，所以可以用來證明龐加萊猜想。

過去二十年中許多學者都在研究這個問題，特別最近 Perelman 的重大突破。

對 Ricci 流奇點的詳細分析告訴我們，瓶頸和退化瓶頸都可以用拓撲手術的方法消除?C 但是還有一種可能性無法排除，當某種瓶頸用拓撲手術消除以後，會產生曲率塌陷。 而Perelman的關鍵工作就是證明了非塌陷（non-collapsing）定理，從而排除了這種奇點的可能性，這就得到Ricci流證明龐加萊猜想的整個綱領的可行性。

中國數學家在這一發展中作出了非常重要的貢獻。 陳省身，丘成桐建立了非常了不起的微分幾何中國學派。 從1970年開始，丘證明了幾個重大的猜想。 包括卡拉比猜想，弦論中卡拉比－丘度量的存在性，廣義相對論中的正品質猜想（與Schoen合作），凱勒幾何中的Frankel猜想（與蕭蔭堂合作）以及代數幾何中的Severi猜想。

在 80- 90 年代，丘培養了好幾位出色的學生，在 Ricci 流理論中作出了重要的貢獻。 曹懷東證明了凱勒流形上長時間解的存在性，並證明了第一陳類為零或負時解的收斂性。 他還證明了正雙截曲率流形的Harnack估計，他是當今Ricci－凱勒流理論的國際權威。 施皖雄證明了Ricci流的局部導數估計，在Ricci流理論中具有基本的重要性，包括Perelman工作中所有與爆破（blowup ）有關的論證。 周培能證明了曲面上Ricci流的收斂性。 對幾何流理論產生重大的影響的一項工作，當數丘成桐與李偉光在1982年證明了熱方程的Harnack估計，這導致了幾何流Harnack估計的發展，包括 Ricci流的Harnack估計，這對Ricci流古典解的分類是絕對重要的。

這也導致 Perelman 的 Harnack 不等式，同樣也出現在 Perelman ，積分直接得到 Entropy 公式。 Perelman用丘成桐－李偉光的方法得到約化體積的Riesz函數。 這些都對Perelman證明非塌陷定理起了關鍵的作用。

丘成桐等許多學者在極小曲面理論上的工作也在 Ricci 流理論中扮演了重要的角色，比如證明具有有限基本群的流形上 Ricci 流的有限消亡時間。

曹懷東與朱熹平最近在 Perelman 與前人的工作基礎上，給出了關於龐加萊猜想證明的一個完整與詳細的描述。 我很高興這兩位Ricci流領域裡的傑出學者所寫的這篇文章。 他們引入?F自己的新思想，使得證明變得更容易理解，包括完備流形上解的唯一性，用新的方法研究典則鄰域定理證明中的反向爆破，這是基於朱熹平與陳兵龍關於孤立子擴張的工作。

曹懷東與朱熹平的文章中充分肯定了 Perelman 的工作對於證明龐加萊猜測所起的重要作用，同樣， Perelman 在文章中也明確指出他的工作是建構于前人的眾多貢獻基礎上的。 所有中國人都應該為中國數學家在微分幾何領域所取得的成就，和對龐加萊猜測的貢獻而感到驕傲。

我正在北京與曹懷東討論證明中的一些細節，我還將在下周到蘇黎世與 Huisken 和 Ilmanen 繼續這些討論，我們希望在毫無爭議的前提下正式公諸于世，因為許多科學家需要把這些結果用到他們的工作中去。